Calcular a distância entre os pontos A ( 1 ; 3 ) e B ( -1 ; 4 ) .
Calcular a distância do ponto à origem do sistema cartesiano.
Calcular a distância entre os pontos e .
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos , e , a equação da reta que passa por pelo ponto médio do segmento é:
a) b) c) d) e)
Alternativa A
Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A(2,1) , B(-1,3) , e C(4,-2) .
Provar que o triângulo cujos vértices são A(2,2) , B(-4,-6) , e C(4,-12) é um triângulo retângulo.
Basta verificar que as medidas dos lados estão de acordo com o Teorema de Pitágoras.
Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B . São dados : A(4,5), B(1,1) e C(x,4).
A área do triângulo e é:
a) b) c) d) e)
(C)
(FUVEST - 1977) O gráfico que melhor se adapta ao lugar geométrico de equação é:
a)
b)
c)
d)
e)
(D)
(EPUSP - 1968) Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação é a reunião de duas retas, então:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(D)
(EPUSP - 1966) Os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem à equação constituem:
a) uma reta b) um senóide c) uma elipse d) um feixe de retas paralelas e) nenhuma das anteriores
(D)
(MACKENZIE - 1973) A representação gráfica do conjunto de pontos tais que é:
a) b) c) d) e)
(B)
(CESCEM - 1976) O ponto (a, -b) pertence ao interior do 2º quadrante. Os pontos (-a,b) e (-a,-b) pertencem, respectivamente, aos quadrantes:
a) 3º e 1º b) 3º e 4º c) 4º e 3º d) 4º e 1º e) 1º e 3º
(D)
(FFCLUSP - 1966) A distância do ponto (-2, 3) ao eixo das ordenadas é:
a) -2 b) 2 c) 1 d) 5 e)
(B)
(CESCEA - 1974) O ponto do eixo equidistante de e é:
a) b) c) d) e) não sei
(D)
(PUC - 1970) Sendo , e vértices de um triângulo, então este triângulo é:
a) triângulo retângulo e não isósceles b) triângulo retângulo e isósceles c) triângulo equilátero d) triângulo isósceles não retângulo e) nenhuma das respostas anteriores
(D)
Localizar e rotular no plano cartesiano os pontos A (0 , -3) , B (3 , -4) , C (5 , 6) , D (-2 , -5) e E (-3 , 5) .
(E. E. LINS - 1968) Dados os vértices , e de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice é:
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores
(D)
(CESCEA - 1968) Dado o segmento de extremidades e as coordenadas do ponto que divide na razão são:
a) b) c) d) e)
(B)
(EPUSP - 1966) Seja C o ponto de encontro das medianas do triângulo OAB de ângulo reto A . Sendo O = (0 , 0) e A = (3 , 0) , a abscissa de C :
a) é inferior a 1 b) é 1 c) é 1,5 d) só pode ser conhecida se for dada a ordenada de B e) nenhuma das respostas anteriores
(E)
(CESCEA - 1972) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades e . As coordenadas dos outros dois vértices do quadrado são:
a) (2,3) e (3,2) b) (3,1) e (1,3) c) (3,0) e (1,4) d) (5,2) e (4,1) e) não sei
(B)
(MACKENZIE - 1976) Se os pontos , e estão numa mesma reta, então é igual a: a) -12 b) -6 c) 6 d) 12 e) 18
(D)
(CESCEA - 1968) Sejam A, B e C números reais quaisquer. Dada a equação , assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
a) se e então é a equação de uma reta pela origem b) se e então é a equação de uma reta pela origem, não paralela a nenhum dos eixos c) Se e então é a equação de uma reta paralela ao eixo d) se , e então é a equação do eixo e) se , e então é a equação do eixo
(D)
(FEI - 1967) Para cada número real , considere-se a reta de equação .
a) existem e , com , tais que e são paralelas b) existe um valor de para o qual a reta é paralela ao eixo dos c) qualquer que seja , a reta passa pelo ponto d) qualquer que seja , a reta passa pelo ponto e) nenhuma das afirmações é verdadeira
(D)
(CESCEA - 1973) A reta que passa pelo ponto e pelo ponto , simétrico de em relação à origem, é:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(A)
(CESCEA - 1972) A equação da reta que passa pelo ponto e que corta a reta de equação num ponto , tal que , é:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(A)
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos , e , a equação da reta que passa por pelo ponto médio do segmento é:
a) b) d) c) e)
(A)
(ITA - 2004) Sejam os pontos , e .
a) Determine a equação da cirunferência , cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos e e é tangente ao eixo . b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto .
Resolução:
a)
Seja o centro da circunferência no primeiro quadrante. Na figura, passa pelos pontos e , tangenciando o eixo . possui coordenadas (3,m) e é raio da circunferência, portanto mede 3.. O ponto , centro da circunferência , tem coordenadas , e a equação da circunferência é
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em , e coeficiente angular : . A reta vertical que contém corta a circunferência em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro é igual a 3, ou seja:
ou . As equações das tangentes são:
e
Dar as coordenadas das projeções dos pontos A(2 ; -3) , B(3 ; -1) , C(-5 ; 1) , D(-3 ; -2) , E(-5 ; -1) , sobre os eixos cartesianos.
Resolução: Para um ponto , vamos chamar de e as projeções do ponto respectivamente sobre o eixo das abscissas (x) e sobre o eixo das ordenadas (y).
Resposta:
(EPUSP - 1967) O ponto é interno a um dos lados do triângulo , e . Então:
a) m = -1 b) m = 0 c) m = d) m = 1 e) nenhuma das respostas anteriores
(A)
Dar as coordenadas dos pontos simétricos aos pontos A(-1 , 2) ; B(3 , -1) ; C(-2 , -2) ; D(-2 , 5) ; E(3 , -5) em relação ao eixo das ordenadas.
Resolução: Para um ponto existe o ponto , simétrico a em relação ao eixo das ordenadas, conforme a figura:
Observando a figura acima, podemos concluir:
Resposta:
Determinar em que quadrante pode estar situado o ponto P(x , y) se:
a) b) c) d)
Resolução:
a) se então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 1º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 3º QUADRANTE
b) se então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 4º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 2º QUADRANTE
c) se x - y = 0 ⇒ x = y ⇒
d) se
Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: A (3 ; 4), B (-1 ; 2), C (-3 ; -4), D (4 ; -2), E (3 ; 0), F (0 ; -3) e G (0 ; 0).
(MACKENZIE) Os pontos A (0 , 0) e B (1 , 0) são vértices de um triângulo equilátero ABC , situado no QUADRANTE. O vértice C é dado por:
a) b) c) d) e) nenhuma das alternativas anteriores
(B)
Para um sistema de coordenadas ortogonais, estão certas as seguintes afirmações:
( 1 ) Pontos com abscissa nula estão no eixo 0x ( 2 ) A distância do ponto (-3 ; 5) aoeixo Oy é 3. ( 3 ) A distância entre os pontos A (-2 ; 4) e B (8 ; 4) vale 10. ( 4 ) A distância entre os pontos A (1 ; 5) e B (-3 ; 2) vale 5. ( 5 ) Os pontos da bissetriz dos quadrantes pares têm abscissa e ordenada iguais.
Estão corretas 2, 3 e 4
Dadas as coordenadas dos pontos:
A (4 ; 3) D (2 ; -3) G (-6 ; -4) B (5 ; 0) E (-4 ; 2) C (0 ; 4) F (0 ; 0)
Achar as distâncias entre os pontos em cada um dos seguintes pares: A e B B e E C e G A e C B e F D e E A e D C e D E e F
(MACKENZIE) Considere a figura abaixo. O comprimento do segmento é:
a) b) c) d) e)
(E)
(USP) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades A ( 1 ; 1 ) e C ( 3 ; 3 ) . As coordenadas dos outros dois vértices são:
a) ( 2 ; 3 ) e ( 3 ; 2 ) b) ( 3 ; 1 ) e ( 1 ; 3 ) c) ( 3 ; 0 ) e ( 1 ; 4 ) d) ( 5 ; 2 ) e ( 4 ; 1 ) e) nenhuma das anteriores
(B)
Seja P ( x ; y ) o ponto simétrico do ponto A ( 1 ; 1 ) em relação à reta que passa pelos pontos B ( 4 ; 1 ) e C ( 1 ; 4 ) . Então x + y é igual a:
a) 4b) 8 c) 6d) 10e) 12
(B)
(CESCEM) Determinar o ponto D no paralelogramo abaixo:
(MACKENZIE) O ponto ( 3 ; m ) é interno a um dos lados do triângulo A ( 1 ; 2 ), B ( 3 ; 1 ) e C ( 5 ; -4 ) . Então:
a) m = -1 b) m = 0 c) m = - 1/2 d) m = -2 e) m = -3
(A)
(FGV) Sabendo que o é um triângulo retângulo em , calcular as coordenadas do vértice .
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(C)
(MACKENZIE) Na figura, a equação da reta é:
a) 2x - 3y - 1 = 0 b) x - y - 1 = 0 c) 4x - 5y - 3 = 0 d) 4x - 3y - 5 = 0 e) 3x - 2y - 4 = 0
(B)
(ABC) A reta da figura tem por equação:
a) x - 2y - 2 = 0 b) x + 2y - 2 = 0 c) y = 2x + 1 d) x = 27 + 1 e) nenhuma das anteriores
(A)
(CESCEM) O triângulo tem vértices e . A equação da reta que passa por e pelo ponto médio de é:
a) x = 0 b) y = 0 c) d) e)
(A)
As retas e interceptam-se:
a) sobre o eixo das ordenadas b) no ponto c) sobe o eixo das abscissas d) na origem dos eixos e) no ponto
(A)
(PUC) Dada a reta de equações paramétricas o seu coeficiente angular é:
a) b) c) d) e)
(D)
(POLI) Um móvel descreve uma trajetória retilínea e suas coordenadas em função do tempo , são:
e
Determinar a equação segmentária da trajetória.
Qual a equação geral da reta em que:
Qual a equação reduzida da reta de equações paramétricas:
Obter a equação segmentária da reta determinada pelo par de pontos A (2 ; 0) e B (0 ; -3)
Obter a equação segmentária da reta determinada pelo par de pontos M (1 ; 1) e N (2 ; 3) .
Os vértices de um triângulo são os pontos A (-1 ; 0), B (0 ; 3) e C (2 ; 4) . Determinar os coeficientes angulares e lineares das três retas suportes dos lados.
e ; e ; e ;
Dada a reta de equação sua expressão sob a forma reduzida é:
a) b) c) d) e)
(B)
(CESCEM) Considere o triângulo e A equação da reta que passa pelo vértice e pelo ponto médio do lado é:
a) b) c) d) e)
(B)
(SANTA CASA) O gráfico que melhor representa a relação é: a) b) c) d) e)
(C)
Determinar a equação reduzida das retas que passam pelos seguintes pares de pontos: a) A (0 ; 3) e B (-1 ; 0) b) C (1 ; -2) e D (-3 ; 4) c) E (3 ; 4) e F (-4 ; -3)
a) y = 3x + 3 b) c) y = x + 1
(FGV) Dada a reta de equação: , determinar o valor de , para que ela seja perpendicular a
a) 3b) 0c) -2d) -1/5 e) nenhuma das anteriores
(C)
A equação:é equação de uma reta:
a) b) passando pela origem, quando c) paralela a um dos eixos, quando d) cortando os dois eixos, quando e) paralela ao eixo x, quando
(D)
(MACKENZIE) As retas dadas pela equação :
a) são paralelas. b) fazem um ângulo de 45° . c) são perpendiculares. d) determinam com os eixos um triângulo de área 4. e) nenhuma das anteriores está correta.
(C)
Considere as seguintes afirmações:
( I ) Se , então as retas e são perpendiculares. ( II ) é equação de um feixe de retas paralelas. ( III )Se duas retas e são concorrentes na origem, então: b = d = 0 .
responda de acordo com o código
a) somente I e II corretas b) somente I e III corretas c) somente II e III corretas d) todas corretas e) todas incorretas
(B)
(MACKENZIE) Observe a figura. Pertence à reta r o ponto:
a) b) c) d) e)
(A)
(SANTA CASA) Num sistema de eixos ortogonais, a reta que passa pelo ponto P (2 ; 3) e é paralela ao eixo y , pode ser corretamente representada por:
a) x = 2 b) y = 3 c) y = 2 d) y = x + 2 e) y - 2 = x - 3
(A)
(FEI) A reta determinada por A (3 , -2) e B (m , n) passa pela origem. Qual a relação entre m e n ?
2m + 3n = 0 ou
(CESCEM) Uma reta pela origem de coeficiente angular negativo tem somente 3 pontos em comum com o gráfico da função . A menor das 3 correspondentes abscissas:
a) é um múltiplo de b) está entre e c) é nula d) está entre e e) é positiva
(B)
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 unidades.
Resolução: A equação da circunferência de centro e raio é: . Como e , temos:
Determinar a equação da circunferência de centro C (2 , -3) e raio R = 5 unidades.
Resolução:
A equação da circunferência de centro C (a , b) e raio R é:.Como C (2 , -3) e R = 5 , temos então:
Determinar a equação geral (ou normal) da circunferência de centro C (-1 , -3) e raio r = 4 .
Resolução:
. Desenvolvendo os quadrados das somas: Resposta:
Qual a equação reduzida da circunferência de centro C (-1 , 3) e raio r = 5 .
Resolução: Resposta:
Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) .
Resolução: O segmento é um diâmetro da circunferência, então o centro da circunferência é o ponto médio de : O raio da circunferência é obtido através da distância AC ou da distância BC. A equação da circunferência de raio e centro é: Resposta:
Determinar a equação da circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4 , -3) .
Resolução:
O raio da circunferência é a distância do centro até a origem: A equação da circunferência de centro e raio é: Sabemos que o centro é e raio . Temos então:
Determinar as coordenadas do centro eo raio de cada uma das circunferências abaixo:
a) b)
a)
Resolução: A equação reduzida da circunferência de centro C(a,b) e raio R: , e temos que e
b)
Resolução: A equação geral da circunferência de centro (a,b) e raio R: . Então
Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A (-1 , 6) e tangencia o eixo dos "y" no ponto B (0 , 3) .
Resolução: Sendo o centro da circunferência o ponto C (x , 3) conforme a figura:
Sendo e raios da mesma circunferência, são segmentos de medidas iguais: Elevando ao quadrado, simplificando, temos: Então o centro é e o raio é e a equação da circunferência:Resposta:
Determinar no eixo das abscissas um ponto M , cuja distância até o ponto P (2 , -3) seja igual a 5 unidades.
Resolução: Se o ponto pertence ao eixo das abscissas, sua coordenada no eixo das ordenadas é zero. Resposta:
ou
Determinar a natureza do triângulo: A (2 ; -3), B (-5 ; 1) e C (4 ; 3).
Resolução: Primeiro determinar os comprimentos dos lados do triângulo.
Como: escaleno acutângulo
Resposta:
escaleno e acutângulo .
Determinar o ponto no eixo 0x equidistante dos pontos A (6 , 5) e B (-2 , 3) .
Resolução: O ponto P equidistante de A e B está no eixo x , portanto sua ordenada é nula e podemos representar P (x , 0) . Da equidistãncia: Elevar os lados ao quadrado: desenvolvendo a equação temos . Se x = 3 então P(x,0) é o ponto P(3;0) Resposta:
Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Considerações:
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.
Resolução:
Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos , e são raios da circunferência e têm medidas iguais a R . Passo 1. Passo 2. Passo 3. O próximo passo é resolver o sistema de duas equações (I) e (II): Sabemos então que o centro tem coordenadas (3 , -2) , então vamos calcular a medida do raio: Resposta:
Dados os pontos A (-3 ; 6) e B (7 ; -1) , determinar as coordenadas do ponto médio do segmento .
Resolução: Se um ponto é o ponto médio do segmento então:
(I) A coordenada é a média aritmética dos valores das coordenadas e (II) A coordenada é a média aritmética dos valores das coordenadas e concluímos que o ponto médio é Resposta:
(SANTA CASA) O triângulo ABC é tal que A é a origem do sistema de coordenadas, B e C estão no 1º quadrante e AB = BC . A reta s , que contém a altura do triângulo traçada por B , intercepta no ponto M . Sendo M (2 ; 1) e C (x ; y) , então x + y é igual a:
a) 3b) 5c) 6d) 7e) 9
(C)
(OSEC) Se num sistema cartesiano ortogonal no plano, o ponto A (9 ; 4) é um dos vértices de um quadrado inscrito num círculo de centro C (6 ; 0) , então um outro vértice do quadrado poderia ter como coordenadas:
(USP) Dados os pontos A (1 ; -4) , B (1 ; 6) e C (5 ; 4 ) e sabendo-se que , então, a soma das coordenadas do centro da circunferência que passa pelos pontos A , B e C é:
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
(A)
Os pontos médios dos lados de um triângulo são os pontos D (2 ; 1) , E (-6 ; 3) e F (-4 ; -5) . Calcular as coordenadas dos vértices.
(0;9), (4;-7) e (-12;-3)
(MAUÁ) Determinar as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo-se que os pontos médios de seus lados são: (-2 ; 1) , (5 ; 2) e (2 ; -3) .
(1 ; 6) , (9 ; -2) e (-5 ; -4) .
(ITA - 1990) Considere a região do plano cartesiano x0y definida pelas desigualdades e . O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo é igual a:
a) b) c) d) e) n.d.a.
(B)
(ITA - 1990) Seja o centro da circunferência . Considere e os pontos de intersecção desta circunferência com a reta . Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices , e é:
a) b) c) d) e) n.d.a.
(E)
(FUVEST - 2015) A equação , em que e são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto . Os valores de e são, respectivamente
a) -4 e 3 b) 4 e 5 c) -4 e 2 d) -2 e 4 e) 2 e 3
(A)
(ITA - 1990) Considere a reta mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta intercepta os eixos coordenados. Então a distancia do ponto à reta é:
a) b) c) d) e)
(B)
(FUVEST - 1977) A reta de equação intercepta a circunferência nos pontos e . Determine o valor de , onde é a medida do ângulo e o centro da circunferência.
(EPUSP - 1951) Dados os pontos e , tomemos sobre a reta um ponto de modo que . Pede-se a equação da reta perpendicular a , a qual passa pelo ponto médio do segmento .
(EESC USP - 1969) Encontrar a equação da reta que é perpendicular à reta e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 8 unidades de área, de modo que este triângulo tenha intersecção não vazia com a reta .
x - y - 4 = 0
(MAPOFEI - 1973) O ponto P = (2; 4) é o centro de um feixe de retas no plano cartesiano. Pede-se determinar as equações das retas desse feixe, perpendiculares entre si, que interceptam o eixo 0x nos pontos A e B , e tais que a distância entre eles seja 10 .
(r) 2x - y = 0 e (s) x + 27 - 10 = 0 (r) x - 2y + 6 = 0 e (s) 2x + y - 8 = 0
Dados A(4; 2), B(0; 4), C(3; 0) e P(3; 4), traçam-se por P as perpendiculares aos lados do triângulo ABC . Pede-se: a) obter os pés das perpendiculares b) provar que são colineares.